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Wahrheitstafel Beispiel Essay

Eine Wahrheitstabelle oder Wahrheitstafel, auch Wahrheitswert-Tabelle oder Wahrheitsmatrix genannt, ist eine tabellarische Aufstellung des Wahrheitswertverlaufs einer logischen Aussage.

Die Wahrheitstabelle zeigt für alle möglichen Zuordnungen von endlich vielen (häufig zwei) Wahrheitswerten zu den aussagenlogisch nicht weiter zerlegbaren Teilaussagen, aus denen die Gesamtaussage zusammengesetzt ist, welchen Wahrheitswert die Gesamtaussage unter der jeweiligen Zuordnung annimmt. Die Wahrheitstabelle wird genutzt, um Wahrheitswertefunktionen beziehungsweise boolesche Funktionen darzustellen oder zu definieren und um einfache aussagenlogische Nachweise zu führen. Beispielsweise werden Wahrheitstabellen verwendet, um die Bedeutung von Junktoren festzulegen.

Darstellung boolescher Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den zweiwertigen Fall wird der Wahrheitswert „wahr“ im Folgenden als und „falsch“ als bezeichnet.

Für mehrwertige Fälle werden oft numerische Werte im Bereich von bis verwendet (im dreiwertigen Fall z. B. die Werte , und , im fünfwertigen Fall die Werte , , , und ). Im mehrwertigen Fall wird oft nicht von Wahrheitswerten, sondern von Quasiwahrheitswerten oder von Pseudowahrheitswerten gesprochen.

Allgemein gibt es für eine m-wertige Logik, d. h. für eine Logik mit endlich vielen Wahrheitswerten, deren Anzahl m ist, n-stellige wahrheitsfunktionale Junktoren bzw. boolesche Funktionen. Für die zweiwertige Aussagenlogik gibt es also einstellige Junktoren und zweistellige Junktoren. Schon für die dreiwertige Aussagenlogik gibt es einstellige und zweistellige Junktoren.

w f
f w
Als ein Beispiel für eine einstellige Wahrheitswertefunktion einer zwei-wertigen Logik dient hier die nebenstehende Wahrheitstafel, die das Ergebnis der Anwendung der Negation auf die Aussage in der klassischen Aussagenlogik zeigt.

Die folgende Tabelle gibt für jeden Wahrheitswert der Aussagen und das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an:

BelegungKonjunktionDisjunktionmateriale ImplikationÄquivalenz
Bikonditional
AND OR Konditional XNOR
w w wwww
w f fwff
f w fwwf
f f ffww

Eine besondere Stellung haben folgende nach Henry Maurice Sheffer bzw. Charles Sanders Peirce benannte zweiwertige Funktionen (siehe hierzu Funktionale Vollständigkeit und Shefferscher Strich), denen das NAND- und das NOR-Gatter entsprechen:

In einer dreiwertigen Logik sind 19 683 zweistellige Verknüpfungen möglich. In der folgenden Tabelle sind zwei von ihnen dargestellt: Die Konjunktion aus der logischen Sprache Ł3 von Jan Łukasiewicz (1920) und die Konjunktion aus dem Kalkül B3 von Dmitrij Anatol'evič Bočvar (1938).

BelegungKonjunktion
in Ł3 in B3
1 1 11
1 ½ ½½
1 0 00
½ 1 ½½
½ ½ ½½
½ 0 0½
0 1 00
0 ½ 0½
0 0 00

Eine vierwertige Logik hat bis zu mögliche zweistelligen Operatoren. Hier als Beispiel die Wahrheitstafel für das Konditional bzw. die materiale Implikation im logischen System G4 von Kurt Gödel (1932).

BelegungKonditional
in G4
1 1 1
1 2323
1 1313
1 0 0
231 1
23231
231313
230 0
131 1
13231
13131
130 0
0 1 1
0 231
0 131
0 0 1

Beweis- und Entscheidungsverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wahrheitstabellen eignen sich dazu, einfache aussagenlogische Beweise auf der semantischen Modellebene zu führen, insbesondere für die Gültigkeit von grundlegenden Gesetzen, auf denen logische Beweisverfahren aufbauen. Zum Beispiel zeigt die logische Äquivalenz der 3. und 4. Spalte in den folgenden Wahrheitstabellen die Gültigkeit der De Morganschen Gesetze:

In der Praxis eignet sich diese Art der Beweisführung allerdings nur für Aussagen mit einer kleinen Anzahl von Aussagenvariablen, da die Größe exponentiell in der Anzahl der Variablen wächst.

Für die Aussagenlogik mit endlich vielen Wahrheitswerten und klassischem Folgerungsbegriff (siehe Klassische Logik) sind Wahrheitstafeln ein Entscheidungsverfahren für viele wichtige Fragestellungen, das heißt ein Verfahren, mit dem sich die jeweilige Fragestellung für jede Aussage in endlicher Zeit mechanisch entscheiden lässt. So lässt sich mit Hilfe von Wahrheitstafeln die Frage entscheiden, ob eine gegebene Aussage erfüllbar, unerfüllbar oder tautologisch ist (siehe Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik); ebenso lässt sich entscheiden, ob ein Argument gültig oder ungültig ist.

Umformung in andere Darstellungsformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Inhalt einer Wahrheitstabelle kann zur weiteren Verarbeitung oder Vereinfachung in andere, äquivalente Darstellungen überführt werden, beispielsweise in ein Karnaugh-Veitch-Diagramm.

Eine Alternative: Wahrheitswertanalyse nach Quine[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wahrheitstabellen sind in vielen Fällen eine rationelle und einfach zu handhabende Methode der Wahrheitswertanalyse. Sie haben jedoch den Nachteil, dass immer alle Fälle durchgegangen werden müssen. Die Anzahl der Fälle steigt aber mit der Anzahl der Variablen (Satzbuchstaben) im Verhältnis an. Bei 2 Variablen gibt es 4 Fälle, bei 3 Variablen 8 Fälle, bei 4 Variablen 16 Fälle usw. Bei vielen Variablen kann die Wahrheitswertanalyse durch Wahrheitstabellen recht aufwändig werden.

Deshalb schlägt Quine in seinem Buch Grundzüge der Logik[1] eine alternative Form der Wahrheitswertanalyse vor. Auf Seite 54 gibt Quine das folgende Beispiel mit drei Variablen bzw. Satzbuchstaben (P, Q und R):

 

 

 

 

 

 

 

 

(P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬R) → (Q ↔ R)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(w ∧ Q) ∨ (f ∧ ¬R) → (Q ↔ R)

 

 

 

 

 

(f ∧ Q) ∨ (w ∧ ¬R) → (Q ↔ R)

 

 

 

 

 

 

 

 

Q  ∨ (f ∧ ¬R) → (Q ↔ R)

 

 

 

 

 

f ∨  (w ∧ ¬R) → (Q ↔ R)

 

 

 

 

 

 

 

 

(Q ∨ f) → (Q ↔ R)

 

 

 

 

 

(w ∧ ¬R) → (Q ↔ R)

 

 

 

 

 

 

 

 

Q → (Q ↔ R)

 

 

 

 

 

¬R → (Q ↔ R)

 

 

 

 

 

 

w → (w ↔ R)

 

f → (f ↔ R)

 

f → (Q ↔ w)

 

w → (Q ↔ f)

 

 

 

 

w ↔ R

 

w

 

w

 

Q ↔ f

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¬Q

 

 

w

 

f

 

 

 

 

 

f

 

w

Der Beispielterm (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬R) → (Q ↔ R) ist also in zwei Fällen falsch: bei P/w|Q/w|R/f und bei P/f|Q/w|R/f. Die Wahrheitstabelle dazu sieht so aus:

P Q R (P Q) (¬P ¬R) (Q R)
w w w w w w w f f f w w w w
w w f w w w w f f w f w f f
w f w w f f f f f f w f f w
w f f w f f f f f w w f w f
f w w f f w f w f f w w w w
f w f f f w w w w w f w f f
f f w f f f f w f f w f f w
f f f f f f w w w w w f w f

Ein einfacheres Beispiel ist die Definition der Implikation:

(A → B) ↔ (¬A ∨ B)

Die Wahrheitstabelle dazu sieht so aus:

A B (A B) (¬A B)
w w w w w w f w w
w f w f f w f f f
f w f w w w w w w
f f f w f w w w f

Die Wahrheitswertanalyse nach Quine sieht bei diesem Beispiel so aus:

 

 

 

 

 

(A → B) ↔ (¬A ∨ B)

 

 

(w → B) ↔ (f ∨ B)

 

 

 

(f → B) ↔ (w ∨ B)
(w → w) ↔ (f ∨ w)

 

(w → f) ↔ (f ∨ f)(w ↔ w)
(w → w)

 

(f ↔ f)

 

w
w

 

w

Bei der von Quine vorgeschlagenen Methode der Wahrheitswertanalyse werden die Variablen bzw. Satzbuchstaben also schrittweise durch ihre Wahrheitswerte ersetzt. Dabei werden dann zeilenweise Fallunterscheidungen vorgenommen, so dass eine baumartige Struktur entsteht. In beiden Beispielen, dem von Quine und der Definition der Implikation, ist auch zu sehen, dass nicht immer alle Fälle durchgegangen werden müssen, was bei vielen Variablen ein Vorteil gegenüber Wahrheitstabellen sein kann. Durch beide Methoden können die Fälle, in denen ein Term wahr bzw. falsch wird exakt ermittelt werden. Daher leisten beide Methoden dasselbe, sind also äquivalent.

Zur Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn man unter einer Wahrheitstabelle die homomorphe Zuordnung von Wahrheitswerten zu den in einer Aussage vorkommenden atomaren Aussagen versteht, dann geht die Wahrheitstabelle auf Philon von Megara zurück, der auf diese Weise im 4. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung die Wahrheitsfunktion für die materiale Implikation definierte.[2] Auch in der von Chrysippos von Soloi geprägten stoischen Logik wurden Wahrheitstabellen in diesem Sinn umfassend verwendet.[3]

In der modernen Logik benutzte George Boole 1847 Wahrheitstafeln unter dem Namen „Module einer Funktion“ zur semantischen Entscheidbarkeit von logischen Termen (Funktionen).[4] Später benützten auch Gottlob Frege und Charles Sanders Peirce dieses Entscheidungsverfahren, wobei Peirce den Zweck der Ermittlung von Tautologien deutlicher betonte. Wahrheitstabellen im wörtlichen Sinn als Tabellen wurden allerdings erst 1921 von Emil Leon Post[5] und Ludwig Wittgenstein[6] eingeführt; durch ihren Einfluss wurden Wahrheitstabellen als Verfahren zur Entscheidung für Tautologien Allgemeingut.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. ↑Quine, Willard Van Orman: Grundzüge der Logik. 6. Auflage. Suhrkamp, Frankfurt am Main 1988, ISBN 3-518-27665-4, S. 49–56 (§5 Wahrheitswertanalyse). 
  2. ↑“The device of tabulation was not introduced until recently, but the idea of truth-functional dependence was obviously quite clear to Philo.” (Martha Kneale, William Kneale: The Development of Logic. Clarendon Press, 1962, ISBN 0-19-824773-7, S. 130 (in englischer Sprache). ); in diesem Sinne auch Bocheński »in Anlehnung an die Antike« (Bocheński: Formale Logik. 2. Auflage. 1962, S. 384 ff. )
  3. ↑“The Stoics gave truth-functional definitions of all the more important propositional connectives […]” (Benson Mates: Stoic Logic (= University of California Publications in Philosophy. Nr. 26). University of California Press, Berkeley 1953, ISBN 0-520-02368-4, S. 42 (englisch, ISBN des Nachdrucks von 1973). )
  4. ↑Boole: The Mathematical Analysis of Logic. 1847, S. 60 ff. 
  5. ↑Emil Leon Post: Introduction to a General Theory of Elementary Propositions. In: American Journal of Mathematics. Band 43, 1921, S. 163–185. 
  6. ↑Ludwig Wittgenstein: Tractatus Logico-Philosophicus. 1921 (Abschnitt 4.31). 

Animation zur Erstellung einer Wahrheitstafel

Einführung[Bearbeiten]

Aussagenlogisch ist eine Aussage ein Satz, der wahr oder falsch ist. Der Wahrheitswert der Aussage wird mit w für wahr oder f für falsch gekennzeichnet. Sehr häufig werden auch 1 oder 0 als entsprechende Notation für die die entsprechenden Wahrheitswerte verwendet.

Welche der folgenden Sätze sind Aussagen?

Madonna ist eine berühmte Bildhauerin.
Gestern hat es geregnet.
Gefällt dir meine neue Bluse?
5x=15 mit x=3.
4=18.
Hoffentlich hört dieser Alleinunterhalter bald zu spielen auf.
Wenn doch schon Sonntag wäre.
Die Studentin Berta ist ein Mensch und Amseln können nicht fliegen.
Amseln sind doof.

Eine Aussage wird oft durch einen Kleinbuchstaben dargestellt.

Keine Aussagen sind Sätze wie x2 > 9. Dieser Satz enthält eine Variable und man kann erst den Wahrheitsgehalt beurteilen, wenn man den konkreten Wert der Variablen kennt. Man nennt so eine "halbfertige Aussage" eine Aussageform. Eine Aussage wäre etwa

a: x2 > 9 für x = 2 (f) oder a: x2 > 9 für x = 4 (w).

Aussageformen bestehen aus Termen. Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen und/oder Variablen. Ein Term mit Variablen kann mit Hilfe bestimmter Zahlen in einen Zahlenwert umgewandelt werden. Beispiele für einen Term:

         

Logische Operatoren[Bearbeiten]

Aussagen verknüpft man durch logische Operatoren. Man kann die Wahrheitswerte der verknüpften Aussagen in einer so genannten Wahrheitstafel zusammenfassen. w und f werden wie Konstanten behandelt.


Negation "nicht": ¬

a: Heike Jacobsen ist eine Frau
¬a: Heike Jacobsen ist keine Frau

Der Wahrheitswert von nicht a hängt von a ab: Ist a falsch, ist ¬a richtig und umgekehrt.

Wahrheitstafel ¬ a | ¬a ----- w | f f | w


Konjunktion "und": ∧

Beispiel:

Im Studiengang BWL muss man Wirtschaftsenglisch machen. Das Fach wurde bestanden, wenn sowohl eine schriftliche als auch eine mündliche Prüfung bestanden wurde.

a: Die schriftliche Prüfung wurde bestanden.
b: Die mündliche Prüfung wurde bestanden.
c = a ∧ b: Die schriftliche Prüfung wurde bestanden und die mündliche Prüfung wurde bestanden.

c bedeutet, Wirtschaftsenglisch wurde bestanden.

Wahrheitstafel ∧ a b | a∧b --------- w w | w w f | f f w | f f f | f

Nur wenn a und b zugleich wahr sind, ist c wahr. In allen anderen Fällen ist c falsch.


Disjunktion "oder": ∨

Beispiel:

Im Ferienort Husenkamp bekommt ein Feriengast vom Bürgermeister eine Flasche Sekt, wenn er Geburtstag hat oder wenn er beim wöchentlich stattfindenden Skatturnier gewonnen hat.

a: Der Gast hat Geburtstag.
b: Der Gast hat das Skatturnier gewonnen.
c = a ∨ b: Der Gast hat Geburtstag oder der Gast hat das Skatturnier gewonnen.

Hier genügt eine der beiden Forderungen, um eine Flasche Sekt zu bekommen. Es können aber auch beide Forderungen zugleich gelten. Bei diesem Oder handelt es sich also nicht um ein Entweder-Oder.

Wahrheitstafel ∨ a b | a∨b --------- w w | w w f | w f w | w f f | f

c ist schon wahr, wenn mindestens eine der Aussagen a oder b wahr ist.


Die drei Operatoren ¬, ∧, ∨ gelten als "klassische Grundversorgung" der Aussagenlogik. Es sind noch mehrere Operatoren geläufig, die sich aber alle sämtlich mit Hilfe der drei obigen Operatoren ausdrücken lassen.


Implikation "wenn a, dann b": ⇒

Beispiel:

Berta will den Führerschein machen. Um den Führerschein zu bekommen, muss sie mindestens 18 sein (Jaaa, ich weiß... Aber wir wollen von Sonder- und Ausnahmeregeln mal absehen).

a: Berta bekommt den Führerschein.
b: Berta ist mindestens 18.
c = a ⇒ b: Wenn Berta den Führerschein bekommt, ist sie mindestens 18.

Man sagt auch "aus a folgt b" oder "a ist hinreichend, b ist notwendig".

Für den Wahrheitswert von c ist hier die Schlüssigkeit der Folgerung ausschlaggebend.


Schauen wir uns die Möglichkeiten an:

a b | a⇒b w w | w Ist unproblematisch ............. a b | a⇒b w f | f Wenn Berta den Führerschein bekommt, ist sie jünger als 18. Diese Folgerung ist falsch, denn wenn sie jünger als 18 ist, kann sie keinen Führerschein kriegen .............. a b | a⇒b f w | w Wenn Berta keinen Führerschein bekommt, ist sie mindestens 18. Diese Folgerung ist schlüssig, denn nur weil sie über 18 ist, muss sie nicht zwangsläufig einen wollen. .............. a b | a⇒b f f | w Wenn Berta keinen Führerschein bekommt, ist sie jünger als 18. Diese Folgerung ist wahr.


Betrachtet man die Aussagen mengentheoretisch, beispielsweise als Menge A: Personen die über 18 sind, und B: Personen, die einen Führerschein haben, so wäre B eine Teilmenge von A.

Für die Implikation erhalten wir also die Wahrheitstafel

Wahrheitstafel ⇒

a b | a⇒b --------- w w | w w f | f f w | w f f | w

Die Implikation a⇒b lässt sich auch darstellen als ¬a∨b.

Äquivalenz "wenn a, dann b und wenn b, dann a": ⇔

Ein Beispiel für Äquivalenzen aus dem täglichen Leben ist nicht leicht zu finden. Meistens wirken diese Beispiele trivial. Daher folgt ein Beispiel aus der Algebra. Sei x eine reelle Zahl.

a: 3x - 9 ≤ x/2 +1.
b: x ≤ 4.
c = a ⇔ b: Wenn 3x - 9 ≤ x/2 +1 ist, dann ist x ≤ 4 und wenn x ≤ 4 ist, ist auch 3x - 9 ≤ x/2 +1.

Man kann das auch so darstellen: :c = a ⇔ b = ((3x - 9 ≤ x/2 +1) ⇒ (x ≤ 4)) ∧ ((x ≤ 4) ⇒ (3x - 9 ≤ x/2 +1)).

Wahrheitstafel ⇔

a b | a⇔b --------- w w | w w f | f f w | f f f | w


Xor (exklusives Oder) "Entweder a oder b": ⊕

Beispiel:

a: Die Studentin Berta fährt heute mit dem Fahrrad zur Hochschule.
b: Die Studentin Berta fährt heute mit dem Auto zur Hochschule..
c = a ⊕ b: Die Studentin Berta fährt heute entweder mit dem Fahrrad oder mit dem Auto zur Hochschule.

Bei diesem Oder ist im Vergleich zur Disjunktion die Konjunktion nicht mitinbegriffen. Deshalb können a und b nicht zugleich wahr oder zugleich falsch sein.

Wahrheitstafel ⊕

a b | a⊕b --------- w w | f w f | w f w | w f f | f

Rechenregeln der Aussagenlogik[Bearbeiten]

Die Rechenregeln für die Aussagenlogik sind in der so genannten Booleschen Algebra, einer algebraischen Struktur, festgelegt. Diese boolsche Algebra ist auch die Grundlage für die Konzeption von elektronischen Schaltungen, so dass man sie auch Schaltalgebra nennt.

Die grundsätzlichen Eigenschaften der Booleschen Algebra[Bearbeiten]

Was erwartet man von einer Booleschen Algebra? Diese grundlegenden Eigenschaften werden als Axiome festgelegt. Axiome sind sinnvolle Festlegungen, die nicht bewiesen werden können. Aus diesen Axiomen werden dann die diversen Rechenregeln abgeleitet.

Gegeben ist ein Boolesche Algebra mit beliebigen Aussagen a, b, c, den Verknüpfungen ¬, ∧, ∨ sowie den Teilaussagen w = wahr und f = falsch.

Axiome:

Kommutativität: Es ist a ∧ b = b ∧ a bzw. a ∨ b = b ∨ a .
Assoziativität: Es ist a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c bzw. a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Distributivität: Es ist a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) bzw. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

Folgerungen aus den Axiomen

a ∧ a = a bzw. a ∨ a = a.
a ∧ w = a bzw. a ∨ w = w.
a ∧ f = f bzw. a ∨ f = a.
¬ ¬a = a.
a ∧ ¬a = f bzw. a ∨ ¬a = w.
Absorptionsgesetz: a ∧ (a ∨ b) = a bzw. a ∨ (a ∧ b) = a.
De Morgansche Regel: ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b bzw ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b.

Berechnen von Wahrheitswerten[Bearbeiten]

Um den Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage zu ermitteln, kann man die Wahrheitstafel für alle möglichen Kombinationen der elementaren Aussagen erstellen. Haben zwei Aussagen die gleiche Wahrheitstafel, sind sie gleich.

Beispiel:

Es wird untersucht, ob

(a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) gleich (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)

ist.

Wir werten zuerst die linke Seite der Gleichung (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) aus und überlegen uns, welche Kombinationen für die elementaren Aussagen und ihre Negationen möglich sind:

a b c | --------- w w w | w w f | w f w | w f f | f w w | f w f | f f w | f f f |


Dann ermitteln wir nacheinander jeden Klammerausdruck und setzen für die drei Klammern x,y und z, um damit einfacher weiter arbeiten zu können:
(Negationen werten wir in einem Zwischenschritt gesondert aus)

x= y= z= a b c | (a∧b) ¬a (¬a∧c) (b∧c) ---------------------------------- w w w | w f f w w w f | w f f f w f w | f f f f w f f | f f f f f w w | f w w w f w f | f w f f f f w | f w w f f f f | f w f f


Dann verknüpfen wir die Klammern:

x= y= z= a b c | (a∧b) ¬a (¬a∧c) (b∧c) x∨y (x∨y)∨z -------------------------------------------------- w w w | w f f w w w w w f | w f f f w w w f w | f f f f f f w f f | f f f f f f f w w | f w w w w w f w f | f w f f f f f f w | f w w f w w f f f | f w f f f f


Es folgt die rechte Seite der Gleichung (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c):

x= y= a b c | (a∧b) ¬a (¬a∧c) --------------------------- w w w | w f f w w f | w f f w f w | f f f w f f | f f f f w w | f w w f w f | f w f f f w | f w w f f f | f w f x= y= a b c | (a∧b) ¬a (¬a∧c) x∨y --------------------------------- w w w | w f f w w w f | w f f w w f w | f f f f w f f | f f f f f w w | f w w w f w f | f w f f f f w | f w w w f f f | f w f f


Wir sehen, dass beide Wahrheitstafeln das selbe Ergebnis liefern. Deshalb sind die Aussagen gleich.


Es gibt bei der Wertigkeit von Wahrheitstafeln zwei Besonderheiten, die Tautologie und die Kontradiktion.

Die Tautologie ist eine Aussage, deren Wahrheitstafel immer wahr liefert.

Beispiel: Der Ausdruck ¬a ⇒ (a ⇒ b) ist eine Tautologie.

a b | ¬a (a⇒b) ¬a⇒(a⇒b) ----------------------------- w w | f w w w f | f f w f w | w w w f f | w w w

Man kann also schreiben: ¬a ⇒ (a ⇒ b) = w.

Dagegen ist ¬a∧a eine Kontradiktion, also immer falsch.

Übungen[Bearbeiten]

Aufgabe 1

Die Aussage (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) wird zwei aus drei genannt. Geben Sie die Wahrheitheitstafel für diese Aussage an.


Aufgabe 2

Zeigen Sie anhand der Wahrheitheitstafel, dass a ⇔ b das Selbe ist wie (a ⇒ b) ∧ (b ⇒ a).


Aufgabe 3

Gegeben sind die Aussagenpaare a und b wie folgt:

ab
Ein Gast bestellt etwas zu trinkenEin Gast bestellt Wein
x ist durch 4 teilbarx ist durch 2 teilbar
x = 5x2 = 25
2+3x=104+6x=20

Geben Sie für jedes Paar eine plausible Implikation an.


Aufgabe 4

Aus der Antike ist folgendes Paradoxon bekannt:

Alle Kreter lügen. Eine Person sagt: Ich bin Kreter.

Ist dieses Paradoxon eines?

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